一、题目#
f(x,y)=x4+y4−(x+y)2已知 (1,1) 与 (−1,−1) 是两个驻点，判断它们处函数值是极大还是极小。
二、多元函数极值的一般步骤#
对于二元函数 f(x,y)，求极值通常分三步：
第一步：求一阶偏导，找驻点#
驻点满足：
fx′=0,fy′=0也就是梯度为零：
∇f=(fx′,fy′)=(0,0)第二步：求二阶偏导，构造 Hessian 矩阵#
二元函数的 Hessian 矩阵为：
H=(fxx′fyx′fxy′fyy′)第三步：用二阶判别法判断极值#
记
A=fxx′,B=fxy′,C=fyy′计算
D=AC−B2判断规则如下：
| 条件 | 结论 |
|---|
| D>0, A>0 | 极小值 |
| D>0, A<0 | 极大值 |
| D<0 | 鞍点 |
| D=0 | 二阶判别法失效，需要其他方法 |
三、记忆口诀#
二元函数极值判断可以记成：
D=fxxfyy−fxy2
- D>0, fxx>0：极小值；
- D>0, fxx<0：极大值；
- D<0：鞍点；
- D=0：无法判断。
